Question

高中数学，在线等

在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。平面向量m=(2a+c,b)与平面向量n=(cosB,cosC)垂直。<1>求角B<2>若a+2c=4,设三角形ABC的面积为S，求S的最大值

Answer 1

1.可证总成立bcosC+ccosB=a,故由m·n=(2a+c)cosB+bcosC=0得2acosB+a=0,,∴B=120º.
2.S=(1/2)acsinB=(√3/4)ac=(√3/8)a·2c≤(√3/8)(a+2c)/2]²=√3/2,等号在a=2c=2时成立，故S最大值为√3/2.

Answer 2

（1）由于向量m和向量n互相垂直，则两个向量向量相乘等于0。即（2a+c)cosB+bcosC=0,
将cosB=（a²+c²-b²）/2ac，cosC=(a²+b²-c²）/2ab代入上式通分化简得到a²+c²-b²+ac=0,

Answer 3

因为平面向量m=(2a+c,b)与平面向量n=(cosB,cosC)垂直
所以m.n=0
即(2a+c,b)*(cosB,cosC)=0
再由余弦定理得cosB=1/2即b=60

Answer 4

垂直,(2a+c)*cosB+b*cosC=0正弦定理
(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,两角和公式
2sinAcosB+sin(B+C)=2sinAcosB+sinA=sinA(2cosB+1)=0
得cosB=-1/2,B=2pi/3
S=ac*sinB/2<(a+2c)^2sinB/16=1/2

Answer 5

m*n=0 (2a+c)cosB+bcosC=0 a/sinB=b/sinB=c/sinC=k 2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0 2sinAcosB+sin(B+C)=0 sinA=sin(B+C) 2cosB=-1 B=120
(√a-√2c)^2≥0 a+2c≥2√(2ac), ac≤2,最大S=√3