Question

f(x)=(x-1)(x-2)……(x-n)/(x+1)(x+2)……（x+n)，求导f'(1)请写出具体过程

Answer 1

答：[(-1)^(n+1)]/[n(n+1)]
方法一
记f(x)=(x-1)g(x),其中g(x)=[(x-2)...(x-n)]/[(x+1)(x+2)...(x+n)]，
当n为奇数时g(1)=(n-1)!/(n+1)!=1/[n(n+1)],当n为偶数时g(1)=-(n-1)!/(n+1)!=-1/[n(n+1)],
求导f'(x)=g(x)+(x-1)g'(x)
则f'(1)=g(1)。
当n为奇数时f'(1)=g(1)=(n-1)!/(n+1)!=1/[n(n+1)],
当n为偶数时f'(1)=g(1)=-(n-1)!/(n+1)!=-1/[n(n+1)]。
则f'(1)=[(-1)^(n+1)]/[n(n+1)]

方法二
利用导数定义
注意到f(1)=0
f'(1)=(x->1)lim[f(x)-f(1)]/(x-1)=(x->1)f(x)/(x-1)
=(x->1)lim[(x-2)(x-3)...(x-n)]/[(x+1)(x+2)...(x+n)]
=[(-1)*(-2)*...*(1-n)]/[2*3*...*(n-1)*n*(n+1)]，
当n为奇数时f'(1)=1/[n(n+1)],当n为偶数时f'(1)=-1/[n(n+1)]。
则f'(1)=[(-1)^(n+1)]/[n(n+1)]

Answer 2

设g(x)=[(x－2)(x－3)…(x－n)]/[(x＋1)(x＋2)…(x＋n)]，则f(x)=(x－1)g(x)，所以，f'(x)=(x－1)'g(x)＋(x－1)g'(x)，即f'(x)=g(x)＋(x－1)g‘(x)，所以f'(1)=g(1)＋(1－1)g'(1)=g(1)，即f'(1)=[(1－2)(1－3)…(1－n)]/[(1＋1)(1＋2)…(1＋n)]={(－1)^(n－1)×(n－1)！]/[(n＋1)！]=[(－1)^(n－1)]/[n(n＋1)]。

Answer 3

直接用定义求解。
f'(1) = lim_{h -> 0} f(1 + h) / h
= lim_{h->0} h(h-1)...(h-n+1) / h(h+2)(h+3)...(h+n+1)
上下都消去h，取极限就为
(-1) * (-2) * ... * (-n + 1) / 2 * 3 * ... * (n + 1）
= (-1)^(n-1) / n(n+1)