Question

初三数学题 高手进

如图圆O中两弦AB、CD交于点P，角OPB=角OPC，那么PA=PD、弧AC=弧BD吗？为什么？

Answer 1

相等。

连接OB和OC，在三角形OPB和三角形OPC中，OB=OC，OP是公共边，角OPB=角OPC，所以两个三角形全等，即PB=PC。
根据相交弦定理，AP*PB = CP*PD
所以AP = PD
又因为在同一个圆中，等弦对等弧，现有AB=CD，所以弧AB和弧CD等长。
所以弧AC = 弧AB - 弧BC = 弧CD - 弧BC = 弧BD

追问

不对啊，OB=OC,OP=OP,角OPB=角OPC，那只是“边边角”，不能说它们全等啊

追答

是两边和其中一边的对角，是符合全等条件的 ：）

追问

是夹角才行，也就是“边角边”才行啊o(╯□╰)o书上明确说了的

追答

可以根据正弦定理，
OB/sinOPB = OP/sinOBP
OC/sinOPC = OP/sinOCP
因为OB=OC, OPB=OPC，所以OBP=OCP
也就是两个三角形的三个角都对应相等，还有一条公共边，当然全等啦 ：）

Answer 2

解：
连接OA，OD，即OA，OD是圆的半径
∴OA=OD，
又∵PA=PD
∴根据边边边定理，即△OAP=△ODP
∴角OPA=角OPD
∵角OPB=角OPC
∴角APC=角DPB
∴这两个角对应的弧相等，即弧AC=弧BD

就是这样子的，希望会对你有帮助，祝你学习进步！

追问

大哥，PA=PD是需要证明的结论啊，你咋当已知条件用了？！

Answer 3

解：PA=PD 弧AC=弧BD
理由：连接OA,OD。
因为OA=OP=R OB=OP=R
所以角OAP=角OPA = 角OPD=角ODP OP=OP
所以三角形OAP三角形ODP全等(AAS)
所以PA=PD
即：弧AC=弧BD（在同圆或等圆中相等的铉所对的弧相等）

追问

OP=R ？