Question

如图 已知AB平行CD 分别探讨下面4个图形中∠APC与∠PAC、∠PCD的关系

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Answer 1

（法一）
如图1所示，过P点做EF∥AB，
则∠PAB=∠APE，（两直线平行，内错角相等）
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，（平行线的传递性）
∴∠PCD=∠EPC
∴∠APC=∠PAB+∠PCD
（法二）
延长CP交AB于点H，
则∠PCD=∠CHA（两直线平行，内错角相等）
则∠APC=∠PAB+∠AHP（外角性质）
=∠PAB+∠PCD（等量代换）
（法三）
如图3所示：连接AC，
则∠APC+（∠PAC +∠PCA）=180°（三角形内角和为180°）
又∵（∠PAC +∠PCA）+（∠PAB +∠PCD）=180°
∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换）
法四）
如图4所示：分别延长AP、CP，交CD、AB于F、E两点，
∠APC=∠EPD，（对顶角相等）
∵AB∥CD
∴∠AEC=∠PCD（两直线平行，内错角相等）
则∠EPD=∠PAB+∠AEC（外角性质）
=∠PAB+∠PCD（等量代换）
则∠APC =∠PAB+∠PCD（等量代换）
（法五）
如图5所示：过点P做PE⊥AB，延长EP交CD于点F，
则EF⊥CD,（两直线平行，内错同旁内角互补）
由∠APE+∠PAB+∠AEP=180°（三角形内角和为180°）
∠CPF+∠PCD+∠PFC=180°（三角形内角和为180°）
∵∠AEP=90°，∠PFC=90°
∴（∠APE+∠CPF）+（∠PAB +∠PCD）=180°
又∵（∠APE+∠CPF）+∠APC=180°
∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换）

Answer 2

如图，当AB‖CD时，图中的∠APC与∠PAB ∠PCD之间存在一定的关系。
如图（1） ∠APC +∠PAB +∠PCD=360°
理由如下：
连结AC。 ∵AB‖CD, ∴∠BAC+∠ACD=180°
∵∠APC+∠PAC＋∠PCA=180°
∴∠APC+∠PAC+∠PCA+∠BAC+∠ACD=360°
∴∠APC+(∠PAC+∠BAC)+(∠PCA+∠ACD)=360°
即∠APC+∠PAB+∠PCD=360°

Answer 3

解：①过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠1=180°，∠2+∠PCD=180°，
∵∠APC=∠1+∠2，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=∠PAB+∠1+∠2+∠PCD=360°；

②过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
∵∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD；

③∵AB∥CD，
∴∠1=∠PCD，
∵∠1=∠PAB+∠APC，
∴∠PCD=∠PAB+∠APC；

④∵AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，
∵∠1=∠PCD+∠APC，
∴∠PAB=∠PCD+∠APC．

Answer 4

图②中∠APC与∠PAB，∠PCD的关系为：∠APC=∠BAP+∠PCD
证明：
作PM‖AB（M在P的左侧）
∵AB‖CD
∴AB‖MP‖CD
∴∠APM=∠A，∠MPC=∠C
∴∠APC=∠APM+∠CPM=∠A+∠C
即：∠APC=∠BAP+∠PCD

Answer 5

∠APC=∠PAB+∠PCD
证明；延长AP交DC于E点。
∵AB‖CD
∴∠PAB=∠PDC
∵∠APC=∠PCD+∠PDC
∴∠APC=∠PCD+∠PAB