Question

请教一道高一解斜三角形数学题

在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC / cosB=(3a-c) / b 。
（1）求sinB的值
（2）若b=4√2，a=c，求三角形ABC的面积

Answer 1

稍稍有点耐心就可以了。。。
（1）：不断地用余弦定理将等式两边转换为a，b，c表达的形式。
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b) 同理：
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)
于是得到：
[(a^2+b^2-c^2)*(2*a*c)]/[(a^2+c^2-b^2)*(2*a*b)]=(3a-c)/b
等式右边分子分母约去2*a，等式两边同时约去b，整理后得到：
(a^2+b^2-c^2)/(a^2+c^2-b^2)=(3a-c)/c
两边再同时加1，并约去a得到：
2*a/(a^2+c^2-b^2)=3/c 整理后：
(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)=1/3 由余弦定理其实等式右边就是cosB，可以得到：cosB=1/3
又由于角B在三角形中，所以sinB必定大于0，所以，通过三角恒等式得：sinB=2√2/3
（2）：三角形面积有一个公式是：
S三角形ABC=0.5*a*c*sinB
之前已经算出sinB，之后只要算出a和c即可。这里我们再用余弦定理：
(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)=1/3 and a=c
所以 (2*a^2-b^2)/(2*a^2)=1/3 b^2=32带入，得到 a^2=24 于是a=c=2√6
S三角形ABC=0.5*a*c*sinB=0.5*a^2*sinB=8√2
OK啦 ^_^

Answer 2

由题中所给式子可得cosB=b*cosC/(3a-c)
由余弦定理可得cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab,cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
∴代入上式可得(a^2+c^2-b^2)/c=(a^2+b^2-c^2)/（3a-c）
整理得，2a^2*c=3a^3+3a*c^2-3a*b^2,左右各约去一个a,得
(a^2+c^2-b^2)/2ac=1/3=cosB
∵cosB＞0 ∴B为锐角，sinB＞0 ∴(sinB)^2=1-(cosB)^2=8/9
,sinB=(2√2)/3

Answer 3

1. a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
所以，a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinB
代入cosC / cosB=(3a-c) / b
得：cosC/cosB=(3sinA-sinC)/sinB
sin(B+C)=3sinAcosB
sinA=3sinAcosB
cosB=1/3
sinB=2(根号2)/3

2. b^2=a^2+c^2-2ac*cosB=2a^2 *(1-cosB)=(4/3)a^2
a^2=(3/4)b^2=8
三角形ABC的面积=(1/2)ac*sinB=(1/2)a^2 *sinB=(8/3)(根号2)

Answer 4

1、正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形ABC外接圆半径）
a=2RsinA,b=2RsinB，c=2Rsinc
所以(3a-c)/b=(3sinA-sinC)/sinB
cosC/cosB=(3sinA-sinC)/sinB
sinBcos(180-A-B)=3sinAcosB-cosBsin(180-A-B)
-sinBcos(A+B)=3sinAcosB-cosBsin(A+B)
sinAsin²B-cosAsinBcosB=3sinAcosB-sinAcos²B-cosAsinBcosB
sinA(sin²B+cos²B)-3sinAcosB=0
sinA(1-3cosB)=0
sinA不等于0
所以cosB=1/3
所以B为锐角
sin²B=1-cos²B=8/9
sinB=2√2/3
（2）sin²(B/2)=(1-cosB)/2=1/3
sin(B/2)=√3/3
过B作BD垂直AC于D
所以点D是AC中点
所以CD=1/2b=2√2
a=c=CD/sin(B/2)=2√6
S三角形ABC=1/2acsinB=1/2×2√6×2√6×2√2/3=8√2