Question

若tan(α+β)=tan2α,求证3sinβ=sin(2α+β)

Answer 1

3sinβ＝sin（2α＋β）=sin2αcosβ+cos2αsinβ=2sinαcosαcosβ+(1-2sin＾α)sinβ
=2sinαcosαcosβ+sinβ-2sin＾αsinβ
∴2sinβ=2sinαcosαcosβ-2sin＾αsinβ
sinβ-sinαcosαcosβ+sin＾αsinβ=sinβ-sinα(cosαcosβ-sinαsinβ)
=sinβ-sinαcos(α+β)=0
∴sinβ=sinαcos(α+β).......(1)
又∵3sinβ＝sin（2α＋β）=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)
∴3sinβ=3sinαcos(α+β)=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)
2sinαcos(α+β)=cosαsin(α+β)
∴tan（α＋β）＝2tanα

Answer 2

已知是不是：tan(α+β)=2tanα
若是的话，那么：
3sinβ=sin(2α+β)
<==>3sin(α+β-α)=sin(α+β+α)
<==>3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
<==>2sin(α+β)=4cos(α+β)sinα
<==>tan(α+β)=2tanα，符合已知
以上各步可逆，所以命题成立。