一道高中数学题。
在正方体ABCD-A,B,C,D,中EF分别是BB,D,B,的中点，求证：EF⊥平面B,AC（用向量法）。...
在正方体ABCD-A,B,C,D, 中EF分别是BB, D,B,的中点，求证：EF⊥平面B,AC（用向量法）。
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解：由题：B`B、B`C`、B`A`两两垂直
如图建系：B`—xyz（B`A`：x；B`C`：y；B`B：z）
设正方体边长为2
则A（2，0，2） C（0，2，2） E（0，0，1） F（1，1，0）
则向量EF=（1，1，-1） 向量B`A=（2，0，2） 向量B`C=（0，2，2）
向量EF·向量B`A=1*2+1*0+（-1）*2=0*；向量EF·向量B`C=1*0+1*2+（-1）*2=0
所以：EF垂直B`A；EF垂直B`C；又因为B`A∈平面B`AC；B`C∈平面B`AC
B`A∩B`C=B`；所以EF⊥平面B`AC
其实几何法更好一些…………
如图建系：B`—xyz（B`A`：x；B`C`：y；B`B：z）
设正方体边长为2
则A（2，0，2） C（0，2，2） E（0，0，1） F（1，1，0）
则向量EF=（1，1，-1） 向量B`A=（2，0，2） 向量B`C=（0，2，2）
向量EF·向量B`A=1*2+1*0+（-1）*2=0*；向量EF·向量B`C=1*0+1*2+（-1）*2=0
所以：EF垂直B`A；EF垂直B`C；又因为B`A∈平面B`AC；B`C∈平面B`AC
B`A∩B`C=B`；所以EF⊥平面B`AC
其实几何法更好一些…………
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