Question

如图，ΔABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F……………

如图，ΔABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，若∠FOD=∠EOD=135度，则ΔABC是什么三角形？（说明理由）

Answer 1

解：
△ABC 是 等腰直角三角形。理由如下：

∵AB 与 圆O相切于点F，BC与 圆O相切于点D，
∴OF ⊥ AB 且 OD ⊥ BC
∴ ∠BFO = ∠BDO = 90° （圆的切线垂直于过切点的半径）
∴在四边形BFOD 中，
∠B = 360° -- ∠BFO -- ∠FOD -- ∠BDO
= 360° -- 90° -- 135° -- 90°
= 45°

∵AC 与 圆O相切于点E，BC与 圆O相切于点D，
∴OE ⊥ AC 且 OD ⊥ BC
∴ ∠CEO = ∠CDO = 90° （圆的切线垂直于过切点的半径）
∴在四边形CEOD 中，
∠C = 360° -- ∠CEO -- ∠EOD -- ∠CDO
= 360° -- 90° -- 135° -- 90°
= 45°

在△ABC 中
∵ ∠B = ∠C = 45°（已证）
∴△ABC 是等腰三角形。------------------------- ①

又 ∵ ∠A = 180° -- ∠B -- ∠C
= 180° -- 45° -- 45°
= 90°
∴△ABC同时也 是直角三角形。------------------------- ②

由 ① ② 知：△ABC 是 等腰直角三角形。