Question

如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=72度，AE交⊙O于点B，AB=OC，求∠A的度数。

Answer 1

解：
连EC，
∵ ∠EOD 是 等腰三角形EOC（OE=OC） 的一个外角
∴ ∠ECO = （1/2）× ∠EOD
= （1/2）× 72°
= 36° （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

∴ ∠A + ∠AEC = ∠ECO = 36° ----------------------------- ①

连 BO，
则∠BOA = 2∠AEC （同弧BC所对的圆周角等于圆心角的一半）

∵ AB = OC = OB
∴ ∠A = ∠BOA = 2∠AEC
∴ ∠AEC = （1/2）∠A ------------------------------- ②

由 ① ② 知：∠A + （1/2）∠A = 36°
∴ ∠A = 24°

注：本题解法不一，但均需证明出 ∠AEC = （1/2）∠A 。
在此基础上，连ED、连EC。
在等腰△OED 中
∵ ∠EOD = 72°
∴ ∠D = 54°

∵ CD 为圆O直径
∴ ∠CED = 90° （直径所对的圆周角为90°）

在 △AED 中，
∵ ∠A + ∠AEC + ∠CED + ∠D = 180°
∴ ∠A + （1/2）∠A + 90° + 54° = 180°
∴ ∠A + （1/2）∠A = 36°
∴ ∠A = 24°

Answer 2

解：连结OB
因为AB=OC
且OB=OC
所以，AB=OB(等量代换)
所以，∠AOB=∠A(等边对等角)
因为∠OBE=∠AOB+∠A(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
所以，∠OBE=2∠A
因为OB=OE
所以，∠OEB=∠OBE=2∠A(等边对等角)
因为∠EOD=∠OEB+∠A=3∠A(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
且∠EOD=72°
所以，3∠A=72°(等量代换)
所以，∠A=24°(等式性质)