Question

初三几何题，关于圆的（两道）急！急！

1、 如图①，AB是圆的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE=2√3，∠DPA=45°。
（1）求圆的半径
（2）求图中阴影部分的面积。

2、如图②，在三角形ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆分别交BC、AC与D、E两点，过D作DF垂直AC，垂足为点F.

（1）求证;DF是圆的切线
（2）若弧AE=弧DE，DF=2,求弧AD的长.
忘了图..

Answer 1

1,
解，因为OA垂直DE，且AC=OC，所以在直角三角形OCE中，OC = 1/2 * OA = 1/2 * OE
又CE = 1/2 * DE = √3，根据OC^2 + CE^2 = OE^2
可得1/4 * OE^2 + 3 = OE^2
所以OE^2 = 4，即OE=2，所以圆的半径是2
因为角DPA=45度，角PCD是90度，所以角PDE=45度。
连接FO，则角FOE=45 * 2 = 90度
所以阴影部分面积=扇形FOE面积-三角形FOE面积
= 1/4 * 3.14 * 2^2 - 1/2 * 2^2 = 3.14 - 2 = 1.14

2.
证明，
因为D在以AB为直径的圆上，所以角BDA=90度，即AD垂直BC。
因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的垂线，因此D也是BC的中点。
连接OD，则OD为三角形ABC的中位线，所以OD//AC。
因为DF垂直AC，所以DF垂直OD。
即FD垂直经过D的半径OD，所以FD是圆的切线。

连接OE，因为角AOE所对弧长为AE，角ABD所对弧长为AD = AE+ED = 2AE
所以角AOE = 角ABD，因为OE//BC。
因为O是AB的中点，所以E是AC中点。
因为AC=AB，所以AE = AO = OE，即角CAB=60度。
顶角是60度的等腰三角形是等边三角形，即AC=BC=AB
连接BE，因为E是AC中点，所以BE垂直AC（也可以通过E在圆上，AB是直径证明），
因此BE//DF，因为D是BC中点，所以DF是三角形CBE的中位线，所以BE = 2DF = 4
在直角三角形ABE中，BE = 4，AE = 1/2 * AB，所以AE = 4/√3
即圆的半径是4/√3
AD所对的圆心角AOD为120度，
所以弧AD为1/3圆周长，即1/3 * 2 * PI * 4/√3 = (8√3 / 9)PI
其中PI = 3.14

Answer 2

1、解：设半径为r
连接OD，则OD=r
DE垂直平分OA，所以OC=r/2
垂径定理，DC=CE=1/2ED=√3
勾股定理
DC²+OC²=OD²
3+(r/2)²=r²
3/4r²=3
r²=4
r=2
所以半径是2
（2）因为角DPA=45度，DC垂直AB
所以角D=45度
所以角EOF=90度（角EOF是圆心角）
所以S三角形EOF=1/2×2×2=2
S阴影=1/4×π×2×2-2=π-2
π取3.14，那么S阴影=3.14-2=1.14
第二题
（1）证明：AB为直径
所以∠ADB=90度即AD垂直BC
因为AB=AC,根据三角形三线合一性质
所以AD平分∠BAC
所以∠CAD=∠BAD
因为OA=OD
所以∠OAD=∠ODA
所以OD平行AC
因为DF垂直AC
所以DF垂直OD
所以DF是圆OD的切线

（2）因为E是弧AD的中点
所以AE=DE
连接OE可知OE垂直平分AD（垂径定理）
所以AE=DE
所以∠EAD=∠EDA
因为∠EAD=∠OAD
所以∠EDA=∠OAD
所以DE平行OA
因为OD平行AE
所以四边形OAED是平行四边形
因为OA=OD,OE垂直AD
所以四边形OADE是菱形
所以OA=AE=OE
所以∠BAC=60
∠DAF=1/2∠BAC=30
因为DF是切线
所以∠FDE=∠DAF=30度
DE=DF/cos30=2/（√3/2）=4/√3
也就是说圆O半径=4/√3
我们可以知道角AOD=120度
所以弧AD=1/3圆周长=1/3×2π×4/√3=8π√3/9

Answer 3

1、解：设半径为r 连接OD，则OD=r
DE垂直平分OA，所以OC=r/2
垂径定理，DC=CE=1/2ED=√3
勾股定理 DC²+OC²=OD²
3+(r/2)²=r²
r=2 所以半径是2
（2）因为角DPA=45度，DC垂直AB 所以角D=45度
所以角EOF=90度（角EOF是圆心角）
所以S三角形EOF=1/2×2×2=2
S阴影=1/4×π×2×2-2=π-2
π取3.14，那么S阴影=3.14-2=1.14
第二题
（1）证明：AB为直径
所以∠ADB=90度即AD垂直BC
因为AB=AC,根据三角形三线合一性质
所以AD平分∠BAC
所以∠CAD=∠BAD
因为OA=OD
所以∠OAD=∠ODA
所以OD平行AC
因为DF垂直AC
所以DF垂直OD
所以DF是圆OD的切线

（2）因为E是弧AD的中点
所以AE=DE
连接OE可知OE垂直平分AD（垂径定理）
所以AE=DE
所以∠EAD=∠EDA
因为∠EAD=∠OAD
所以∠EDA=∠OAD
所以DE平行OA
因为OD平行AE
所以四边形OAED是平行四边形
因为OA=OD,OE垂直AD
所以四边形OADE是菱形
所以OA=AE=OE
所以∠BAC=60
∠DAF=1/2∠BAC=30
因为DF是切线
所以∠FDE=∠DAF=30度
DE=DF/cos30=2/（√3/2）=4/√3
也就是说圆O半径=4/√3
我们可以知道角AOD=120度
所以弧AD=1/3圆周长=1/3×2π×4/√3=8π√3/9

Answer 4

问题1解答：
1）先做三条辅助线，分别是AE、EB、OF
2）根据已知数据和条件，在ΔACE中，AE^2=AC^2+CE^2=(1/2R)^2+(2√3/2)^2=1/4R^2+3
在ΔBCE中,EB^2=CE^2+CB^2=(2√3/2)^2+(3/2R)^2=3+9/4R^2
在ΔABE中,AB^2=AE^2+EB^2=1/4R^2+3+3+9/4R^2=5/2R^2+6=(2R)^2=4R^2
整理等式，5/2R^2+6=4R^2 3/2R^2=6 R^2=4 R=2
3)计算阴影部分的面积：
阴影部分的面积＝EOF所对应的扇形面积－ΔOEF的面积。
根据园内三角形原理，由于，∠DPA=45°，因此，∠EDF=45°，对应的，，∠EOF=90°
也就是说，EOF所对应的扇形面积＝圆面积/4=πR^2/4=2^2π/4=π
ΔOEF的面积=1/2 R^2=1/2x2^2=2
阴影部分的面积=π-2=1.14
问题2解答：