Question

关于高一数学必修五正余弦定理的问题

已知锐角α、β、γ，满足sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求α-β的值。

Answer 1

解：由已知得
sinγ=-sinα+sinβ，cosγ=cosα-cosβ，平方相加得
sin²γ+cos²γ=(-sinα+sinβ)²+(cosα-cosβ)²，即
1=sin²α-2sinαsinβ+sin²β+cos²α-2cosαcosβ+cos²β
=(sin²α+cos²α)+(sin²β+cos²β)-2(sinαsinβ+cosαcosβ)
=1+1-2cos(α-β)
故cos(α-β)=1/2
又已知α、β为锐角，故α-β=±π/3
再由γ也为锐角及sinγ=-sinα+sinβ，得α＜β
故α-β=-π/3

Answer 2

首先，由sinα+sinγ=sinβ知道sinα-sinβ=-sinγ；
其次，由cosα-cosγ=cosβ知道cosα-cosβ=cosγ；
又因为（-sinγ) x (-sinγ) + cosγ x cosγ =1;
从而知道（sinα-sinβ）x (sinα-sinβ) +（cosα-cosβ）x (cosα-cosβ)=1；
化简上式得：cosα x cosβ + sinα x sinβ = 1/2；
即cos（α-β）=1/2；
由α，β，γ是锐角，且cosα-cosβ=cosγ>0,知道：-π/2<α-β<0;
所以α-β= -π/3；