Question

高一数学数列问题

正数数列{an}的前n项和为sn,且2√sn=an+1 (1)试求数列an的通项公式（2）设bn=1/an*an+1,bn的前n项和为Tn。求证。Tn<1/2

Answer 1

解：
(1)
2√S1=2√a1=a1+1 4a1=(a1+1)^2
(a1-1)^2=0
a1=1
2√Sn=an+1 4Sn=(an+1)^2
2√Sn-1=a(n-1)+1 4Sn-1=[a(n-1)+1]^2
4an=4Sn-4Sn-1=(an+1)^2-[a(n-1)+1]^2=an^2+2an-a(n-1)^2-2a(n-1)
an^2-a(n-1)^2-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
an=-a(n-1)(数列为正数数列，舍去)或an-a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列。
an=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2n-1
(2)
bn=1/[ana(n+1)]=1/[(2n-1)(2n+1)]=(1/2)[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
Tn=(1/2)[1-1/2+1/2-1/3+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
0<1/(2n+1)<1 0<1-1/(2n+1)<1
0<(1/2)[1-1/(2n+1)]<1/2
Tn<1/2

Answer 2

对条件两边同时平方 然后你用 sn-(sn-1)=an 来算通项公式

追问

不懂

Answer 3

1
利用 S1 n=1
an={
Sn-Sn-1 n≥2 其中Sn=(an+1)²/4
求得an=2n-1
2
bn=1/[(2n-1)(2n+1)]
=(1/2)[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
Tn=(1/2)[1-1/2+1/2-1/3+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
0<1/(2n+1)<1 0<1-1/(2n+1)<1
0<(1/2)[1-1/(2n+1)]<1/2
Tn<1/2