Question

关于三角函数的题

若钝角三角形ABC的三内角的度数满足2B=A+C,且最大边长与最小边长的比值是M，则M的取值范围是__________________

Answer 1

在三角形中 A+B+C=π
现在 2B=A+C，所以 有
B+2B=π
B=π/3
A+C=2π/3
因为是钝角三角形，不失一般性，设 A>π/2>B>C
那么对应的边就有 a>b>c
同时因为 A+C=2π/3
所以有 0<C<2π/3-π/2=π/6
M=a/c=sinA/sinC=sin(2π/3-C)/sinC=(sin(2π/3)*cosC-cos(2π/3)*sinC)/sinC
=√3cosC/sinC+1/2
在 [0,π/2] 上 cos/sin是减函数
所以 M=√3/2*cosC/sinC+1/2>=√3/2*√3+1/2=2
即M的取值范围是 (2,+∞)