Question

高一数学三角方程问题

解方程：(cosx)^n-(sinx)^n=1（n∈正整数）

Answer 1

（1）当n为偶数时，原式可以化为
（cos²x+sin²x）[（cosx）^（n-2）-（sinx)^(n-2)]=1
而cos²x+sin²x=1
于是原方程的未知数的次数从n降低到了n-2
同理，一直化一直降 降到最后得到cos²x-sin²x=1 又∵cos2x=cos²x-sin²x
∴cos2x=1∴2x=0 ∴x=0
（2）当n为奇数时，同n为偶数化简过程差不多，
最后得到cosx-sinx=1
∴此方程此时无解。

追问

(1)中cos2x=1,应该得到的是2x=2kπ吧，x=kπ
(2)中怎么会无解呢，cosx=1,sinx=0不就行了？
但我认为当n是奇数时 (cosx)^n=1+(sinx)^n≤1
可以得到(sinx)^n≤0∴sinx≤0
而(cosx)^n=1+(sinx)^n≥0
∴cosx≥0，∴综上应该是x∈[-π/2+2kπ，2kπ]
也不知道可对

追答

额··············
对啊，我实在糊涂了哈
第一问是你那个x=kπ
第二问 根号2×cos（x+π/4）=1
cos（x+π/4）=2分之根号2
x=0+2kπ
∴综合12，~~~~~~~~ x=2kπ