Question

设函数f(x)在上[0,a]连续，在(0,a)内可导，且f(a)=0，证明：在(0,a)中至少存在一点ξ, 使f(ξ)+ξf'(x)=0

F(x)=xf(x)，则由题意知F(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导
试问为什么F(x)在(0,a)内可导???

Answer 1

可以用罗尔中值定理，构造函数F（x）=xf(x)，则F（0）=0，F（a）=0，由f（x）的性质知，

F（x）在[0,a]连续，（0，a）可导，故满足罗尔中值定理的条件，在(0,a)中至少存在一点ξ使

F（ξ）=f(ξ)+ξf'(ξ)=0，则原题得证 

对于（2），根据函数的求导法则：两个可导函数（都在X0可导）的积在X0也是可导的，对于这道题，我可以给出证明：

Answer 2

（1）若不嫌麻烦，可以根据最基本的可导函数定义来证明。
（2）根据函数的求导法则：两个可导函数（都在X0可导）的积在X0也是可导的，再由X0的任意性（X0在两个共同定义域内）可知它们的积在整个公共定义域内是可导的。