Question

问两道高二数学题

f(x)=x^3-x 设a>0，若过(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明-a<b<f(a)

设a>0 f(x)=(ax+b)/(x^2+1) 若极大值是1，极小值是-1，求a，b的值

在学导数，所以请都用导数求

Answer 1

设(m,n)是曲线上的点，则有n=m^3-m……①，过此点的切线的斜率为k=3m^2-1(对f(x)求导),于是过此点的切线的方程为：y-n=(3m^2-1)(x-m),此切线要经过点(a,b)，所以b-n=(3m^2-1)(a-m),又由于①，整理得：g(m)=2m^3-3am^2+a+b=0,题目要求g(m)=0由三个解，对g(m)求导，得两个极值点m=0,m=a,由于a＞0，所以由图像判断，此方程有三个解的充要条件为:g(0)＞0，g(a)＜0，由g(0)＞0得a+b＞0，即-a＜b，由g(a)＜0得2a^3-3a^3+a+b＜0，即b＜a^3-a=f(a),即有-a＜b＜f(a)。

1）
f(x)=(ax+b)/(x^2+1)=t
tx^2-ax+t-b=0
判别a^2-4t(t-b)>=0
即4t^2-4bt-a^2<=0
判别(4b)^2-4*4(-a*2)=16（a^2+b^2）>0
极大值为1，极小值为-1
1,-1为4t^2-4bt-a^2=0两个根
4-4b-a^2=0,4+4b-a^2=0
b=0,a=2,a=-2(舍）
ab=2*0=0

Answer 2

第二问吧：
先写出f(x)的导数形式，然后让它们分别等于1，-1，这样就组成了一个方程组，解方程就可以了