Question

初中数学几何问题 急等 ！！

C为任意一点 以AC BC 为斜边 在AB同侧 做 等腰直角三角形 ACD 和 BCE 。连接AE交AD与M ，连接BD交CE与N 。
证明 ：1 MN平行AB
2 1/MN=1/AC+1/BC
3 MN 小于等于 1/4AB 。

Answer 1

证明:
(1)由三角形ACD和BCE均为等腰直角三角形,很容易得到:
CD//BE---> AC/AB=CM/BE
AD//CE---> CN/AD=BC/AB
因:AD=（AC*√2）/2 ，BC=√2*BE
两式相乘,化简:CN/（√2/2 ）=CM*√2
所以CN=CM,
又∵∠MCN=90° （∠ACD=∠BCE=45°）
所以△CMN是等腰直角三角形
∴∠CMN=45°
∴MN‖ AB

（2）∵AD//CE
∴△ADM∽△ECM
∴EM/AM=CM/DM
∴（EM+AM）/AM=（CM+DM）/DM
∴AE/AM=CD/DM
又∵AE/AM=AB/AC （∵CD//BE→ △ACM∽△ABE ）
CD/DM=BC/MN （∵MN//AB→ △DMN∽△DCB ）
∴AB/AC =BC/MN
∴AB/（AC *BC）=1/MN
∴（AC+BC）/（AC *BC）=1/MN
∴ 1/AC+1/BC=1/MN
即：1/MN=1/AC+1/BC

（3）1/MN = 1/AC + 1/BC = (AC+BC) / (AC×BC) = AB / (AC×BC)
∴MN = AC×BC / AB = (AB - BC)×BC / AB = (- BC^2 + AB×BC) / AB = [ -(BC - 0.5AB)^2 + 0.25 AB^2]/ AB= 0.25 AB - (BC-0.5AB)^2/AB
∵(BC-0.5AB)^2 ≥ 0
∴MN ≤ 0.25AB
所以 MN ≤ 1/4AB

Answer 2

1∵dc//ec
∴dm/mc=ad/ce=dc/eb
∵dc//eb
∴dc/eb=dn/nb
∴dm/mc=dn/nb
∴mn//ab
2 mn/ac=en/ec
∵eb//dc
∴en/ec=bn/bd
mn/bc=dn/db
所以mn/ac+mn/bc=1
∴1/ac+1/bc=1/mn
3 (ac-bc)2≥0
（ac+bc）2≥4ac×bc
ab2≥4ac×bc
ab/(ac×bc)≥4/ab
1/ac+1/bc≥4/ab
1/mn≥4/ab
m≤1/4ab

Answer 3

解：（1）∵CD‖BE，∴△CND∽△ENB，可得 ①
∵CE‖AD，∴△AMD∽△EMC，可得 ②
∵等腰直角△ACD和△BCE，∴CD=AD，BE=CE，所以可得 ，
∴MN‖AB；

（2）∵CD‖BE，∴△CND∽△ENB，∴ ，
设 =k，则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN‖AB，∴ = = ，
= = ，
∴ + =1，
∴ = + ；

（3）∵ = + ，
∴MN= = ，
设AB=a（常数），AC=x，
则MN= x（a-x）= [-（x- a）2+ a2]≤ a