Question

已知函数f(x)=x^2+2x,若存在实数t,当x属于[1,m]时，f(x+t)≤3x恒成立，则实数m的最大值为

已知函数f(x)=x^2+2x,若存在实数t,当x属于[1,m]时，f(x+t)≤3x恒成立，则实数m的最大值为

Answer 1

可用图像求解.作出y=f(x)和y=x的图像.f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.即将y=x2的图像向左平移了1个单位.而f(x+t)是将此图像又向左或向右平移了.但如果要满足f(x+t)≤x.则y=f(x)的图像必须向右平移(t＜0)才可以满足.如果向左移就是f(x+t)＞=x恒成立了要使当x∈〔1.m〕时.f(x+t)≤x恒成立.就必须向右平移使f(x+t)的图像有一段在y=x图像的下方.向右一点一点平移y=f(x+t).发现当f(x+t)与y=x相交的左交点横坐标x为1时.其右交点距x=1最远.就是m能取得最大值.经此分析.问题比较简单了.左交点根据y=x可知坐标为(1.1).f(x+t)=(x+t)2+2(x+t)+1=x2+(2t+2)x+(t2+2t+1).代入x=1.y=1.解得:t=-3.所以:y=f(x+t)=f(x-3)=(x-2)2.与y=x联立.解得:另一交点为(4.4).所以:m 的最大值为4.

Answer 2

5　

Answer 3

f(x+t)的图象是由f(x)图象向左(或向右)平移|t|个单位而产生的,要使存在实数t,当x属于[1,m]时有f(x+t)≤3x.则必须向右移(可以画出图象).而且1和m分别是f(x+t)=3x的两根.即x2+(2t-1)x+t2+2t=0的两根是1和m.解得t=-4.m=8