Question

无穷数列｛an｝满足：a1=1/2008，an^2-2an+2an-1=0（n-1为下标），n=（2，3……）

（1）求证0＜an＜1/2
（2）求证（1/2-2a1）+（1/2-a2）+……+（1/2-2an）＜2008

Answer 1

(1)an-a(n-1)=an^2/2>0 故an单调递增
an>=a1=1/2008>0
而用数学归纳法证明an<1/2
n=1成立
假设n=k成立
则n=k+1时等价于(ak-1)^2>0
故成立

(2)每一项是[(1/2)-2an]吗，如果是就等价于Sn>n/4-1004
n<5016都是成立的
但n大于5016时需要证明an>1/4，
又考虑对an^2-2an+2a(n-1)=0连续累加试图证明
即ak>an-(n+1-k)/8
但同样无法进行
不过用程序验证a5016>1/4，所以该命题成立

但想不到什么好的手工方法，sorry。。。

追问

第二小题是1/（2-a1）+1/（2-a2）+……+1/（2-an）＜2008
抱歉，是我题目没打好