Question

初三数学，二次函数！！！快！！！ 要过程，还有理由，谢谢！！！

已知二次函数y=x^2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2，一元二次方程x^2+b^2+20=0的两实根为x3,x4，且x2-x3=x1-x4=3,求二次函数的解析式，并写出顶点坐标。

Answer 1

你好，任晓悦轩：

解：
∵x2-x3=x1-x4=3
∴x2-x3=3，x1-x4=3
∴x2-x3+x1-x4=6
即(x1+x2)-(x3+x4)=6
由韦达定理，得
x1+x2=-b，x3+x4=-b²
∴(x1+x2)-(x3+x4)=-b+b²=6
即b²-b-6=0
(b-3)(b+2)=6
解得b=-2或3
又∵一元二次方程x²+b²x+20=0有两实根
∴Δ(根判别式)=b⁴-80≥0，
∴b＞0
∴b=-2不合题意，舍去
∵x2-x3=x1-x4
∴|x1-x2|=|x3-x4|
即√[(x1+x2)²-4x1x2]=√[(x3+x4)²-4x3x4]
∴9-4c=81-4×20
解得c=2
则二次函数的解析式为y=x²+3x+2
根据顶点坐标公式，可得顶点坐标：(-3/2，-1/4)