Question

这是一道高一数学数列题（看图）

有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是？
1楼错，是6，求过程

Answer 1

设第k个正方体的边长是A（k），则有A（1）=2，且A（k+1）=A(k) x √2/2;从而A（n）=2x
(√2/2)^(n-1);
再设所需的正方体的个数是n，显然在塔堆到第二层的时候，总的表面积是两个正方体的表面积减去第二层正方体的一个面的面积的两倍，堆到第三层的时候，总的表面积是三个正方体的表面积减去第二层正方体的一个面的面积的两倍，再减去第三层正方体的一个面的面积的两倍，以此类推：
堆到第n层的时候，塔的表面积是：每一层正方体的表面积减去第2个，第3个，……第n个正方体的一个面的面积的两倍，也就是：
6[ A(1)xA(1)+A(2)xA(2)+……A(n)xA(n)]-2[A(2)xA(2)+……A(n)xA(n)]
=4[A(1)xA(1)+A(2)xA(2)+……A(n)xA(n)]+2[A(1)xA(1)]
=4[4+4x(1/2)+4x(1/2)^2……+4x(1/2)^(n-1)]+2x2x2
=4x4x[1+(1/2)+(1/2)^2+……+(1/2)^(n-1)]+8
=16[2-(1/2)^n]+8>39
解上述不等式得到n>5;
所以n的值最少应该是6

Answer 2

2048 这本来是一道在草稿上动笔的题，在这我就写烦的了。我是这么想的，先找到一个数，它的平方在2000左右！可知45的平方是2025，本来是第2025项，再

Answer 3

5的话刚好等于39
PS：我补充下过程，其实是等比数列问题 上下两个底面面积分别为4（各个正方体从上面看的部分表面积之和为4），关键是4个侧面的表面积。最底下一个4个侧面表面积和为16，以后每一层的正方体棱长为下面一个正方体棱长的2分之根号2倍，因此每一层的正方体侧面积总和为下一层的1/2，由此可以得出总表面积为2*4+16【1-（1/2）^n】/1- 1/2 =40-32*(1/2)^n

Answer 4

分析：总面积等于各个正方体表体积的和-最底层的正方形的面积

解： S总=6【2^2+（√2）^2+1^2+（√2/2）^2+...】-4
=6*【（2^2+1^2+0.5^2+...)+（（√2)^2+(√2/2) ^2+...)】
=6*【4*(1-(1/4)^n)/1-1/4 - 2*(1-(1/2)^n)/1-1/2】

用计算机解出n 即可

Answer 5

设塔形中有n个正方体的表面积为An
A1=4×6=24
A2=4×6+2×4=24+4×2
A3=4×6+2×4+1×4=24+4×(2+1)
…………
A5=24+4×(2+1+1/2+1/4)=39
A6=24+4×(2+1+1/2+1/4+1/8)=39.5＞39
所求答案为6

Answer 6

最底下的棱长为a1
上面第n个的棱长为an
an=a1q^(n-1) 其中a1=2 q=1/√2
第N个正方体压在第N-1个正方体上，所以塔的表面积就会减少第N个正方体一面面积的两倍
也就是说，每加一个正方体，塔的表面积增加数为这个正方体的侧面积
最底下的正方体的侧面积为S1=4a1^2=16
第n个正方体的侧面积为Sn=4n^2=4a1q^(n-1)]^2=16/2^(n-1)
所以塔的表面积等于Sn数列的和最底层正方体的上下两个面的面积
S1*(1-1/2^n)/(1-1/2)+2a1^2
=32(1-1/2^n)+8>39
2^n>32
n>5 且为整数
所以至少有6个正方体