Question

潘氏兄弟的《初等数论》中的一个定理很让我不以为然，请老师或学过的高手指点一下

第五章第四节中定理4，m=2^a,a>=3,2不整除c,后面说,2不整除n时，二项同余方程
x^n=c(mod 2^a)必有解。定理5又说m=2^a,a>=3, 2不整除n时，模2^a的一个缩系中的全部元素都是 模2^a的n次剩余。
以上所说是一致的，并且可以简单地说，在定理的条件下，当且仅当c为奇数即2不整除c时，c为模2^a的n次剩余。
然而定理7又说m=2^a,a>=3, 2不整除n时，c为模2^a的n次剩余即二项同余方程
x^n=c(mod 2^a)有解的充要条件是（c-1)/2同余于0(mod（n,2)),
c对模2^a的指数整除2^(a-2)/(n,2^(a-2))
我的疑问是定理7怎么搞的那么复杂呢？

Answer 1

答：先整理一下问题。
以下以”n奇”表示”n为奇数”.
$5.4定理4:
a>=3,c,n奇，则x^n=c mod 2^a必有解.
定理5:
a>=3,n奇，(c,2^a)=1,则 x^n=c mod 2^a必有解.
(c,2^a)=1即表明c是2^a的缩系中的任意元素.而(c,2^a)=1等价于”c奇”.
果然,定理4和5仅仅在于引入了2^n的缩系这一概念.但这并无必要.因为任意奇数均与2^n的缩系中一个数同余.

上面的内容我并未加以证实.定理7我更是越看越胡涂.我想说,这里肯定有问题.前面的内容如果仅仅说是噜嗦,那么后面的内容更加是令人生气.
我想问:是你抄写书上原文写错了,还是编书的人在凑字数?

外一则:
我常常将各个同余类集合构成的集合(集合的集合)称为泛剩余系.而奇数集是所有2^n的泛缩系的平铺(即所有同余类内的元素平行地构成一个集合),如{{1+4k},{3+4k}}->{1+4k,3+4k }=奇数集.