Question

数学不等式证明

已知a1+a2+……+an=t，t为常数，a1,a2,……,an属于R+
求证 当且仅当 a1=a2=……=an 时 a1^n+a2^n+……+an^n 有最小值
n属于N*
难道这个结论不成立？？

Answer 1

t^2=(a1+a2+……+an)^2=a1^n+a2^n+……+an^n+2a1*a2+2a1*a3+2a1*a4+……+2an-1*an
2ab<=a^2+b^2,当且仅当a=b时取等号
对上面式子中每一个形如2a1*a2运用上面的结论，得到
所以上式<=n*a1^n+n*a2^n+……+n*an^n当且仅当 a1=a2=……=an 时取等号，
a1^n+a2^n+……+an^n>=t^2/n，当且仅当 a1=a2=……=an 时取等号，
即当且仅当 a1=a2=……=an 时 a1^n+a2^n+……+an^n 有最小值t^2/n.

追问

平方以后怎么出来的n次方？？？

追答

我这只能证的n=2的情况：
t^2=(a1+a2+……+an)^2=a1^2+a2^2+……+an^2+2a1*a2+2a1*a3+2a1*a4+……+2an-1*an
2ab=t^2/n，当且仅当 a1=a2=……=an 时取等号，
即当且仅当 a1=a2=……=an 时 a1^2+a2^2+……+an^2 有最小值t^2/n.

追问

貌似你说的那个n=2 用柯西不等式就直接得出结论？

追答

嗯！当时我题目看错了！现在想来，这个题目是不是要用数学归纳法证：
（1）由柯西不等式可证指数上为2时结论成立：
a1^2+a2^2+……+an^2>=t^2/n,
当且仅当 a1=a2=……=an 时取等号；
（2）（a1^3+a2^3+……+an^3）*（a1+a2+……+an）
>=（a1^2+a2^2+……+an^2）^2>=t^4/n^2,
所以1^3+a2^3+……+an^3>=t^3/n^2，当且仅当 a1=a2=……=an 时取等号，
即指数上为3时结论也成立；
（3）假设指数上为小于等于K（k属于N*，k>=3)的正整数时都有结论以下都成立：
a1^k+a2^k+……+an^k>=t^k/n^(k-1)
则指数上为k+1时：
若k+1为奇数，则[a1^(k+1)+a2^(k+1)+……+an^(k+1)]*t
=[a1^(k+1)+a2^(k+1)+……+an^(k+1)]*（a1+a2+……+an）
>=[a1^(k/2+1)+a2^(k/2+1)+……+an^(k/2+1)]^2
因为(k/2+1)=[t^(k/2+1)/n^(k/2)]^2=t^(k+2)/n^k
所以a1^(k+1)+a2^(k+1)+……+an^(k+1)>=t^(k+1)/n^k，
当且仅当 a1=a2=……=an 时取等号；
若k+1为偶数，则[a1^(k+1)+a2^(k+1)+……+an^(k+1)]*n
=[a1^(k+1)+a2^(k+1)+……+an^(k+1)]*（1+1+……+1）
>=[a1^(k/2+1/2)+a2^(k/2+1/2)+……+an^(k/2+1/2)]^2
因为(k/2+1/2)=[t^(k/2+1/2)/n^(k/2-1/2)]^2=t^(k+1)/n^(k-1)
所以a1^(k+1)+a2^(k+1)+……+an^(k+1)>=t^(k+1)/n^k，
当且仅当 a1=a2=……=an 时取等号，
由上知，指数上为k+1时结论都成立，综上，原结论成立。

追问

（2）（a1^3+a2^3+……+an^3）*（a1+a2+……+an）
>=（a1^2+a2^2+……+an^2）^2
这咋证得？

追答

这就是用柯西不等式啊：
（a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+b3^2+...bn^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2
等号成立条件：a1:a2:...:an=b1:b2...:bn
（2）（a1^3+a2^3+……+an^3）*（a1+a2+……+an）中的an^3可看作an的3/2次幂的平方，
an可看作an的1/2次的平方，用柯西不等式可得。