Question

(2^3-1)(3^3-1)(4^3-1).....(100^3-1)/(2^3+1)(3^3+1)(4^3+1)......(100^3+1)=

Answer 1

立法和公式 a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
立方差公式 a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
原式=(2-1)(2²+2×1+1²)(3-1)(3²+3×1+1²)(4-1)(4²+4×1+1²)…(100-1)(100²+100×1+1²) / (2+1)(2²-2×1+1²)(3+1)(3²-3×1+1²))(4+1)(4²-4×1+1²)…(100+1)(100²-100×1+1²)
=1×7×2×13×3×21×…×99×10101 / 3×3×4×7×5×13…×101×9901
发现规律：分子奇数项是1×…×99，分母奇数项是3×…×101，约分后为2/10100=1/5050；分子偶数项是7×13×21×…9901×10101，分母偶数项是3×7×13×…×9901，约分后为10101/3=3367
所以，原式=3367/5050