Question

几道高中数学题，急求~~解答过程谢谢！

1. 在三角形ABC中，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c。 向量AB · 向量AC=8，∠BAC=α，a=4 （1）求b·c的最大值及α的取值范围。 （2）求函数f(α)=2√3 （sin2(π/4+α)）^2+2(cosα)^2-√3 的值

2.已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y=4x/3 右焦点F(5,0)。双曲线的实轴为A1A2。P为双曲线上一点（不同于A1,A2）。直线A1P、A2P分别与直线l:x=9/5交于M、N两点。 （1）求双曲线方程 （2）求证：向量FM·向量FN为定值

Answer 1

1. 在三角形ABC中，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c。 AB •AC=8，∠BAC=α，a=4 （1）求bc的最大值及α的取值范围。 （2）求函数f(α)=2√3 [sin²2(π/4+α)]+2cos²α-√3 的值
解:(1)AB•AC=│AB││AC│cosα=bccosα=8......................................(1)
由余弦定理得a²=16=b²+c²-2bccosα=b²+c²-2×8=b²+c²-16,故b²+c²=32≥2bc,
∴bc≤16,即bc的最大值为16.
由（1）得cosα=8/bc≥8/16=1/2.∴π/3≤α<π/2.
(2)f(α)=2(√3)sin²(π/2+2α)+2cos²α-√3=2(√3)cos²2α+2cos²α-√3
=2(√3)(2cos²α-1)²+2cos²α-√3=2(√3)(4cos⁴α-4cos²α+1)+2cos²α-√3
=8(√3)cos⁴α-(8√3-2)cos²α+√3
f(π/2)=√3; f(π/3)=8(√3)×(1/16)-(8√3-2)×(1/4)+√3=(1/2)(1-√3)
即（1-√3)/2≤f(α)<√3.
2.已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y=4x/3 右焦点F(5,0)。双曲线的实轴为A1A2。P为双曲线上一点（不同于A1,A2）。直线A1P、A2P分别与直线l:x=9/5交于M、N两点。 （1）求双曲线方程 （2）求证：向量FM·向量FN为定值
解：(1)设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1.已知b/a=4/3, c=5,故可设a=3m, b=4m,于是有等式：
9m²+16m²=25,故有25m²=25,∴m=1,即有a=3, b=4,于是得双曲线方程为x²/9-y²/16=1.
(2)设P点的坐标为（m, n),已知A₁(-3, 0);A₂(3, 0),则PA₁所在直线的方程为
y=[n/(m+3)](x+3)..................................................(1)
PA₂所在直线的方程为 y=[n/(m-3)](x-3).............(2)
将x=9/5,代入（1）式得y=24n/(5m+15),即M的坐标为(9/5, 24n/(5m+15))
再将x=9/5代入（2）式得y=-6n/(5m-15），即N的坐标为(9/5, -6n/(5m-15))
∴向量FM=(9/5-5, 24n/(5m+15))=(-16/5, 24n/(5m+15))
向量FN=(9/5-5, -6n/(5m-15))=(-16/5, -6n/(5m-15))
∴FM•FN=(-16/5)²-144n²/(5m+15)(5m-15)=256/25-144n²/[25(m²-9)...........(3)
点P（m, n)在双曲线上，故有m²/9-n²/16=1,即有n²=16(m²/9-1)=16[(m²-9)/9],代入（3）式即得
FM•FN=256/25-144×16/9×25=256/25-256/25=0
即不论P点在双曲线右半支的什么位置，总有FM⊥FN.