Question

设函数f(x)=aX^3-3X+1(x∈R），若对于任意的X∈[-1,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的值为（ ）

Answer 1

f'(x)=3ax^2-3
a<=0则f'(x)<0,递减
所以最小值=f(1)=a-3+1≥0
a≥2，不符合a<0

a>0
f'(x)=0则x=±√(1/a)
则x<-√(1/a),x>√(1/a),f'(x)>0,递增
-√(1/a)<x<√(1/a)，递减

若0<√(1/a)<1
0<1/a<1
a>1
则-1<x<-√(1/a),√(1/a)<x<1递增
-√(1/a)<x<√(1/a),递减
则最小值是f(-1)或f(√(1/a))
则f(-1)=-a+3+1>=0
a<=4
f(√(1/a))=√(1/a)-3√(1/a)+1>=0
√(1/a)<=1/2
1/a<=1/2
a>=2
所以2<=a<=4

√(1/a)>=1
则0<a<=1
此时[-1,1]是[-√(1/a),√(1/a)]子区间
递减
则最小=f(1)=a-3+1>=0
a>=2,不符合0<a<=1

所以2≤a≤4