Question

多元隐函数求全微分。。。

1.已知z^x=y^z,求dz.
2.已知z=f(xz,z-y),其中f具有一阶连续偏导数，求dz.
要过程～谢谢。。

Answer 1

第一题，参照二元隐函数对数求导法，
将z^x=y^z变形，得
xlnz=zlny
下面就是求微分的一般方法了：
lnzdx+(x/z)dz=lnydz+(z/y)dy
移项化简：
dz=(z^2dy-yzlnzdx)/(xy-yzlny)
第二题，
令t1=xz,t2=z-y,则z=f(t1,t2)，用fi'表示f(t1,t2)中对t1(第i个中间变量)的偏导数，则有
dz=f1'*d(xz)+f2'*d(z-y)
=f1'*(zdx+xdz)+f2'(dz-dy)
移项化简，得
dz=(zf1'dx-f2'dy)/(1-xf1'-f2')

Answer 2

(1) xlnz=zlny, d(xlnz)=d(zlny), lnz*dx +x/z dz= z/y dy+ lny dz, dz=[lnzdx-z/ydy]/[lny-z/y]
(2) dz=f1' d(xz)+f2' d(z-y), dz=f1' (zdx+xdz)+ f2'(dz-dy), 将dz移到一边，得
dz=[zf1'-f2']/[1-xf1'-f2']

Answer 3

只能输入100字太少了，我只能给个思路了：
利用隐函数求导公式F(x,y,z)=0，@表示偏微分号，@z/@x=-(@F/@x)/(@F/@z)，@z/@y=-(@F/@y)/(@F/@z)
先把原式移项得到方程，利用公式求偏导数，再用全微分公式得到结果。