Question

关于高中数学有关极值的问题

函数在点x0的函数值f(x0）都大于x0附近两侧的函数值，称f(x0)为极大值
函数在点x0的函数值f(x0）都小于x0附近两侧的函数值，称f(x0)为极小值

那么，上面的附近两侧指的是多大的取值范围，为什么说极大值可能小于极小值，一定要用导数值为零来确定极值的个数吗？

Answer 1

所谓的附近两侧其实就是（以极大值为例）该点的导数为0 在该点左侧的导数为正 右侧的导数为负
形象的讲 就是函数图像在极大值处“拐了个向下的弯”
极大值只是说有个拐弯这个形状而已 而这个拐弯的位置需要由原函数的方程确定
可能你这个“向下的拐弯很靠下” 也就是说函数值很小 而极小值（向上的拐弯）函数值较大 “很靠上”
极值的个数一般的确由导数值为0确定 但需要注意的是 该点导数值为0 同时该点两侧导数值异号（即两侧增减性相反）才能确定为极值 而例如函数y=x³ 在x=0时导数y'（0）虽然也为0 但是左右两侧的导数都是正的（即两侧都是递增） x=0就不是极值

Answer 2

附近两侧就是指的从远处向这一点无限接近的范围。说极大值点可能小于极小值点不是指相邻的极大极小值点，高次函数的话是会出现两个以上的极值点的，我们假设存在四个极值点，两个极大两个极小交替出现，那么极小值点虽然比他相邻的极大值点小，但是她是完全有可能比另一个极大值点大的，这个作图是有帮助理解的，lz可以在稿纸上画画。至于导数为零与极值并不是等价的，极值点的导数一定为零，这是他的定义决定的，但是导数为零的点并不一定就是极值点，举个例子，函数y=x^3，在x=0处导数很明显为零，但是同样很明显x=0并不是他的极值点，因为他左侧的小于他，而右侧的大于他，不符合定义 。所以导数为零后还要检验一下是否符合定义在判断是否为极值点

Answer 3

附近就是无限接近，很小的范围！

Answer 4

极值的准确定义：
（1）如果有一个点xℴ,它有一个邻域存在，使函数f(x)在这邻域内有定义且对于这邻域内异于
xℴ的任何x值，f(x)<f(xℴ)恒成立，则称f(xℴ)为函数f(x)的一个极大值。（2）如果有一个点xℴ,它有
一个邻域存在，使函数在这邻域内有定义且对于这邻域内异于xℴ的任何x值，f(x)>f(xℴ)恒成立，
则称f(xℴ)为函数f(x)的一个极小值。
上文所说的邻域，有一个“邻域半径”，一般叫作δ，δ的大小与予先给定的任意小的正数ε有
关。在中学阶段，不必深究这些咬文嚼字的定义，可以简单的理解为“要多小有多小”。
函数的极值带有局部性，而函数的最值带有全局性。在某个小范围内是极大值，但很可能比另一个小范围内的极小值还小，这一点都不必奇怪。
极值点的个数用导数为零的点的个数决定，这是对连续函数说的。但在更一般的情况下，则还
要看区间的端点及没有导数的点的情况，不可一概而论。