Question

设F1·F2分别是椭圆x^2/25+y^2/16=1的左右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为（6,4),则PM+PF1的最大值

Answer 1

a=5 b=4
PF1+PF2=2a
PM+PF1=2a+PM-PF2
PM-PF2<MF2
所以PM+PF1最大值为2a+MF2=10+5=15

Answer 2

a=5,b=4,c^2=25-16=9,c=3
F1(-3,0) F2(3,0)
直线MF2交椭圆于A(x',y') B(x'',y'')
直线MF2: M(6,4) ,F2(3,0)
y=kx+b
4=6k+b,0=3k+b
b=-4,k=4/3
y=4x/3-4
x^2/25+y^2/16=1
16x^2+25(4x/3-4)^2=400
(16+400/9)x^2-800x/3+400=400
x[(544/9)x-800/3]=0
x1=0,x2=2400/544=75/17
x1=0,y1=-4
x2=75/17,y2=75/17*(4/3)-4=(100-68)/17=32/17
A(0,-4),B(75/17,32/17)
AF1=√(3^2+4^2)=5 AM=√(6^2+8^2)=10
AM+AF1=15最大,所以PM+PF1最大值15

(AM+AF1=AF2+MF2+AF1=2a+MF2
P不在A点时,三角形PF2M中,PM<PF2+MF2,PF1+PM<PF1+PF2+MF2<2a+MF2
所以PF1+PM<AM+AF1)