Question

已知a、b、c、d是不全为0的实数，函数f（x）=bx²+cx+d，g（x）=ax³+bx²+cx+d。

方程f（x）=0有实根，并且f（x）=0的实根都是g[f（x）]=0的根；反之，g[f(x)]=0的实数根都是f(x)=0的根。

(1)求d的值；
(2)设a=0，求c的取值范围。

Answer 1

解：
(1)设r是方程f（x）的一个根，则f（r）=0.
由题意设g[f(r)]=0 , g(0)=0,
∴d=0.

(2)∵a=0，
∴b、c是不全为0的实数，
∴f（x）=bx²+cx ，g（x）=x（bx+c），
∴g[f(r)]=x（bx²+cx）[b(bx²+cx)+c]=x(bx+c)(b²x²+bcx+c），
∴方程f（x）=0就是x（bx+c）=0， ………………①
方程g[f(x)]=0就是x（bx+c）（b²x²+bcx+c）=0 ………………②
(a)当c=0时，b≠0，方程①②的根都是x=0，符合题意；
(b)当c≠0时，b=0，方程①②的跟都是x=0，符合题意；
(c)当c≠0时，方程①的根为X1=0，X2=-c/b，它们也都是方程②的根，
但它们不是b²x²+bcx+c=0的实数根。
由题意，方程b²x²+bcx+c无实数根，此方程的根的判别式△＜0，
即(bc)²-4b²c＜0，
∴0＜c＜4.
综上，c的取值范围[0,4)。

Answer 2

（1）设x1是f(x)=0的根，则f(x1)=0,g[f(x1)]=g(0）=0，故d=0
(2)由a=0,d=0,得g(x)=f(x)=bx^2+cx
若b=0,则c≠0,f(x)=cx=0只有一根x=0,而g[f(x)]=c^2x=0也只有一根x=0,符合题意
若b≠0,则f(x)=0有两根为x1=0,x2=-c/b
而方程g[f(x)]=f(x)[bf(x)+c]=x(bx+c)(b^2x^2+bcx+c)=0也只有两根x1,x2,故b^2x^2+bcx+c=0无实根，Δ=b^2c^2-4b^2c<0,c^2-4c<0,0<c<4
所以当b=0时，c≠0;当b≠0时，0<c<4