Question

已知函数f(x)=√(x+1)-alnx(a∈R),求f(x)的单调区间

Answer 1

由题意得x的定义域为：（0，+∞）对f(x)求导得：f^' (x)=1/(2√(x+1))-a/x

当a>=0时 f’(x)>0,即f(x)单调递增

当a<0时，令f’(x)>0得1/(2√(x+1))>a/x 再整理得：x^2-4a^2 x-4a^2>0

可以算得∆=16a^4+16a^2>0,

所以，当x∈(2a^2-2a√(a^2+1),2a^2+2a√(a^2+1)  )时，f(x)单调递减，

当x∈(0，2a^2-2a√(a^2+1)）∪（2a^2+2a√(a^2+1)  ，+∞)时，f(x)单调递增

综上所述，当a>=0时f(x)单调递增区间为（0，+∞）

当a<0时， f(x)单调递增区间为(0，2a^2-2a√(a^2+1))∪（2a^2+2a√(a^2+1)  ，+∞）

f(x)单调递减区间为(2a^2-2a√(a^2+1),2a^2+2a√(a^2+1)  )