Question

已知棱长为a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别是BC、A1D1 的中点. 求：A1C与DE所成角的余弦.

用纯几何方法做，不要用向量，具体题目看图。

Answer 1

连接A1B，取中点为G，连接EG，
因为G，E都是中点，所以EG平行A1C，且等于A1C一半。
所以所求的角的余弦等于DE与EG所成角的余弦.
连接GD
分别求出三角形DEG三边长为：
DE=[(根号5)/2]a, EG=1//2(根号a^2+a^2+a^2)={(根号3)a}/2,
DG=根号[a^2+{1/2(根号a^2+a^2)}^2]=[(根号10)/2]a
最后用余弦定理求出所成角的余弦=反应、负根号15

Answer 2

1. B1F//==ED   四边形EB1FD为平行四边形   B1E=B1F=根号5*a/2

所以 四边形EB1FD为菱形

2.图片

Answer 3

（1）取AD中点G，连结EG，AG，则有EG//且=A1B1. 则四边形A1B1EG 为平行四边形。
由此可得A1G//且=B1E。

因为是正方体，所以A1A=D1D，∠A1AG=∠DD1=90°，AG=D1F=a/2。三角形A1AG和三角形DD1F全等。可得A1G=DF, 且∠D1FD=∠FDG=∠A1GA，则A1G//DF。

由A1G//且=DF 且A1G//且=B1E，可得DF//且=B1E，则 四边形DEB1F为平行四边形。

（2）延长AD至H使DH=a/2，连结CH，A1H。
因为DH//且=BE，四边形CEDH为平行四边形，可得CH//DE。则所求角等于A1C与CH夹角。
在三角形A1CH中，算三边长度，再用余弦定理求A1C与CH夹角即可。
A1C是正方形内对角线，长度是【根号3】a。
CH在三角形CDH中，CD=a，DH=a/2，有勾股定理，则CH=【根号5】a/2
A1H在三角形A1AH中，A1A=a，AH=3a/2，勾股定理，则A1H=【根号13】a/2
余弦定理：cos（C）=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(5/4+3-13/4)(a^2)/(2【根号3】a【根号5】a/2)
这里a^2抵消，cos（A1CH）=1/【根号15】