Question

已知函数f(x)=lnx-kx+1(1)求函数f(x)的单调区间（2）若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围

Answer 1

(1)函数f（x）的定义域为：x>0
对f（x）求导：
f`(x)=1/x-k
第一种情况：当k大于0时：
当f`(x)>=0时f（x）单调递增，此时x<=1/k
故单调增区间为：0<x<=1/k
当f`(x)<=0时f（x）单调递减，此时x>=1/k
故单调减区间为：x>=1/k
第二种情况：当k小于等于0时：
f`(x)>=0恒大于0，f（x）单调递增，此时x>0
故单调增区间为：x>0
（2）当k大于0时，f（x）在x=1/k处可以取得最大值，f（x）max=ln(1/k)-k*1/k+1=ln(1/k)
当最大值都小于等于0时，f（x）<=0恒成立：所以ln(1/k)=0，解得：k>=1
当k小于等于0时，f（x）单调递增，不符合题意。
故：k的取值范围为：k>=1

Answer 2

一
f'(x)=1/x - k
令f'(x)=0 x=1/k
k>0时，f(x)在(0,1/k)单调增，在[1/k,+∞）单调减
k<=0时，f(x)在（0，+∞）单调增
二
<==>Maxf(x)<=0 （a）
<==>f(x)在定义域内有最大值
<==>f'(x)=0时，Max f(x)=ln(1/k) (k>0) （b）
<==> 联解（ab）得k>=1