Question

初三数学题急用

如图15①点A`，B`坐标分别为（2，0）和（0，-4）将△A`B`O绕点O按逆时针旋转90度后得△ABO，点A`的对应点是点A，点B`的对应点是点B，。
⑴写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解折式；
⑵将△ABO沿着垂直于X轴的线段CD折叠，（点C在X轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）如图②，使点B落在X轴上，点B的对应点为点E，设点C的坐标为（X，O），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S。
Ⅰ）试求出S与X之间的函数关系式（包括自变量X的取值范围。）；
Ⅱ）当X为何值时，S的面积最大？最大值是多少？
Ⅲ）是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若下存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）点A坐标为（0， 2）
点B坐标为（4， 0）
直线AB的解折式为：y = -- x /2 + 2

（2）解前分析： 在求解变化过程中函数关系式问题时，首先弄清
变化过程中的临界点。本题中的临界点为：X = 2。
此时△CDE与△ABO重叠部分（△CDE）的顶点E
恰落在坐标原点处。
找出临界点后 再细分。

① 当 2 ≤ X ＜ 4 时，重叠部分为Rt△CDE。
∵ 点C横坐标为X，DC ⊥ x 轴
∴ 点D横坐标也为X
而点D在直线y = -- x /2 + 2 上
∴ 点D纵坐标为 -- x /2 + 2
∴ 线段CD长度为 -- x /2 + 2
又线段BC长度为 4 -- X
因为折叠，所以线段CE的长度 = 线段BC长度 = 4 -- X
∴ 此时S = （1/2）× CE × CD
= （1/2）× （ 4 -- X）×（ -- x /2 + 2 ）
= （1/2）× （ X -- 4）×（ x /2 -- 2 ）
= X平方/4 -- 2X + 4
= （1/4）× (X -- 4)平方 （2 ≤ X ＜ 4）
这表示抛物线S =（1/4）× (X -- 4)平方 在 2 ≤ X ＜ 4 上的一段，
当 X = 2 时 取得最大值，最大值为 1。

② 当 0 ＜ X ＜ 2 时，设线段DE与 y 轴交于点F，
则重叠部分为 梯形OCDF。
在 梯形OCDF 中，高 OC = X
下底 CD = （ -- x /2 + 2 ）
下面求其上底 OF。
∵ C （X,0） B（4,0）
∴ BC长度为 4 -- X
所以线段CE的长度 = 线段BC长度 = 4 -- X
∴ OE = CE -- OC
= 4 -- X -- X
= 4 -- 2X
∵ tan∠E = tan∠B = OA / OB = 1/2
∴ tan∠E = OF / OE = 1/2
∴ OF = （1/2）× OE
= （1/2）× （4 -- 2X）
= 2 -- X

此时S = S梯形OCDF = （1/2）× OC × （OF + CD）
=（X/2）× [（2 -- X）+ （-- x /2 + 2）]
=（X/2）× [ 4 -- (3X/2）]
= -- （3/4）X平方 + 2X
此时自变量X的取值范围：0 ＜ X ＜ 2。
当 X = -- b/2a = 4/3 时，
y 取得最大值 （4ac -- b平方）/ 4a = 4/3

综上两种情形，当X为 4/3 时，S的面积最大，
最大值是 4/3 。

③ 存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形。
点C的坐标为： （3/2， 0）或（5/2， 0）。理由如下：

情形一：当△ADE 中的∠AED = 90°时，
∠AEO + ∠DEC = 90°

而∠DEC = ∠B

∴∠AEO + ∠B = 90°

而 ∠BAO + ∠B = 90°

∴ ∠AEO =∠BAO

则 RT△AEO ∽ Rt△BAO

∴OE ：OA = OA ：OB
即 OE ：2 = 2 ：4
∴ OE = 1 此时点E坐标为（1， 0）
此时 EB = OB -- OE = 4 -- 1 = 3
C 为 EB中点，EC = 3/2 CO = OE + EC = 5/2
∴此时点C的坐标为：（5/2， 0）

情形二：当△ADE 中的∠EAD = 90°时，（即 ∠BAE = 90°）
由Rt△AOE ∽ Rt△BAE 知：
OA 平方 = OE × OB
∴ 2的平方 = OE × 4
∴ OE = 1 此时点E坐标为（--1， 0）
此时BE = OE + OB
= 1 + 4
= 5
而C为BE中点，∴ BC = （1/2）× BE = 5/2
∴此时OC = OB -- BC = 4 -- 5/2 = 3/2
∴ 此时点C的坐标为：（3/2， 0）

综上，存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形。
点C的坐标为： （3/2， 0）或（5/2， 0）。

Answer 2

请看图！！