Question

全增量与全微分的区别？

同济版高等数学书上介绍的全微分约等于全增量，但课后习题让求全微分和全增量，根据书上提供的答案，这俩者是不同的，求解释，不胜感激？

Answer 1

全增量是指由于自变量的微小变化而引起函数值（因变量）的实际变化，以二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)处的全增量为例就是f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)；而全微分是指全增量的近似值，这个近似值du=σf(x,y)x|(x0,y0)*△x+σf(x,y)y|(x0,y0)*△y。在实际问题中我们遇到的f(x,y)可能很复杂，不易直接去求出全增量，或者没有必要确切知道全增量是多少（例如房子的房梁没有必要非得做的毫厘不差），于是我们就可以用全微分来近似地表示全增量。我们知道一元微分其实就是函数自变量变化与该处的因变量对自变量的变化率（斜率）的积，全微分只不过是偏微分（可以看作一元，只有一个自变量）的和罢了，用微分表示函数的变化为什么会有误差呢？因为用微分表示其实是在用（x0,y0）的值及其变化规律（偏微分）来近似预测（x0,y0）极小范围内函数值（因为你求全微分是所用的函数性质无论是值还是偏微分都是在（x0,y0）处的），这种预测的误差是多少呢，是否可以接受呢？那就请你仔细看看全微分的定义，定义中明确指出误差是ρ的更高阶无穷小，所以是可以接受的。至于这个误差为何是这样，等你看完了多元函数的泰勒公式，你就明白了。

Answer 2

全增量是函数值之差，你看一下定义。例如z=y/x当y=1 x=2. x的增量是0.1 增量y是-0.2
那么，全增量等于1/2减去1-0.2/2+0.1=-0.119
琢磨一下。其实就是把x.y值带到函数式子里的值减去一个…x.y分别减去增量后的数字得出的值的过程。

追问

根据同济版高等代数书上的推理论证（P72），第六个式子△Z（全增量）约等于全微分，这是怎么一回事？

Answer 3

全增量是这点的x增加△x，y增加△y。△z=f(x1+△x,y1+△y)-f(x1,y1）。且对△z取极限等于0。那么△z就是函数z=f(x，y)在点（x1，y1）处的全增量。也就是x，y同时获得增量。而全微分是先对x求导，所得乘d(x),在对y求导，所得乘d(y),再把两个先加就是全微分。

Answer 4

全增量是这点的X增加△X，Y增加△Y。△Z=f(X1+△X,Y1+△Y)-f(X1,Y1）。且对△Z取极限等于0。那么△Z就是函数Z=f(X，Y)在点（X1，Y1）处的全增量。也就是X，Y同时获得增量。而全微分是先对X求导，所得乘d(X),在对Y求导，所得乘d(Y),再把两个先加就是全微分。

Answer 5

△Z=f(X1+△X,Y1+△Y)-f(X1,Y1）。且对△Z取极限等于0。那么△Z就是函数Z=f(X，Y)在点（X1，Y1）处的全增量。也就是X，Y同时获得增量。而全微分是先对X求导，所得乘d(X),在对Y求导，所得乘d(Y),再把两个先加就是全微分。