Question

证明：如果a、b是互素的整数，则（a+2b，2a+b）等于1或3

Answer 1

若a+2b,2a+b互质，则（a+2b，2a+b）=1
若a+2b,2a+b不互质，设（a+2b，2a+b）=k
则a+2b+2a+b=3(a+b)是3的倍数，从而k是3的倍数
设k=3m 则可设 a+2b=3mp 2a+b=3mq===> a=2mq-mp , b=2mp-mq 有公约数m
又 a b 互素 所以 只能 m=1 从而 k=3

Answer 2

设k=(a+2b,2a+b)
a+2b=mk
2a+b=nk

3a=(2n-m)k
3b=(2m-n)k
如果k不是1或3，那么k整除a且k整除b，那么a,b就不互素了

Answer 3

设k=(a+2b,2a+b)，那么a+2b+2a+b=3(a+b)　是k的倍数，同时a+2b－（2a+b）＝b－a也是K的倍数，可以知道（a＋b）不能是K的倍数，因为a，b互素，所以k＝1或者3。