Question

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c，

若锐角C满足tan2C=-√15.
(1)求sinC的值；(2)当a=2,c=4时，求△ABC的面积。

Answer 1

tan2C=2tanC/(1-tan^2C) =-根号15
C＜90°
tanC=根号(5/3)
sinC=tanC/根号(1+tan^2C)=根号10/4
cosC=根号6/4
c^2=a^2+b^2-2abcosC
4^2=2^2+b^2-2*2b*根号6/4
b=-根号6（舍去），b=2根号6
S=1/2absinC=根号15

Answer 2

sin2C/cos2C=tan2C=-√15
sin2C=-√15cpos2C
sin²2C=15cos²2C
因为sin²2C+cos²2C=1
cos²2C=1/16
tan2C<0则2C是钝角，cos2C<0
cos2C=1-2sin²C=-1/4
sin²C=5/8
sinC=√10/4

a=2,c=4
sin²C+cos²C=1
C是锐角
所以cosC=√6/4=(a²+b²-c²)/2ab
2(b²-12)=2√6b
b²-√6b-12=0
b>0
所以b=2√6
所以面积S=1/2absinC=√15