Question

数学等比数列

在边长为1的等边三角形ABC中，连结各边中点得△A1B1C1，再连结△1B1C1各边中点得△A2B2C2......如此继续下去，试证明数列S△ABC，S△1B1C1，S△A2B2C2...是等比数列

Answer 1

相似三角形中有个相似比，比如说把一张图片原封不动地放大两倍，那么相似比就是2或1/2，为什么有两个？因为小的比大的是1/2，而大的比小的就是2.
相似三角形中有个定理，那就是相似图形的面积比等于相似比的平方，所以题中的等边三角形不断沿中位线（这你懂吧，就是三角形任两边中点的连线）分割，相似比一个接一个是1/2,所以面积比就是1/4.所以就是等比数列了。

Answer 2

这些三角形都是相似三角形，根据中位线的性质知道每次的大的比小的相似比都是2.
相似图形面积比是相似比的平方，所以这一系列面积是公比为1/4的等比数列。

追问

能写出详细的解题过程不？还是不太明白

追答

证明：∵在边长为1的等边三角形ABC中，连结各边中点得△A1B1C1，
∴A1B1是三角形ABC的AB边所对的中位线。∴A1B1=1/2 AB。
同理有B1C1=1/2BC，A1C1=1/2 AC。
因此△A1B1C1和△ABC的三边对应成比例，即△A1B1C1∽△ABC，且相似比=1/2。
∵相似三角形的面积之比等于相似比的平方，
∴S△A1B1C1：S△ABC=（1/2）^2=1/4。
再连结△A1B1C1各边中点得△A2B2C2，由上述同理可知△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比=1/2。∴S△A2B2C2：S△A1B1C1=（1/2）^2=1/4。

……综上所述，以此类推，即有S△A1B1C1：S△ABC=S△A2B2C2：S△A1B1C1=1/4。
可见数列S△ABC，S△A1B1C1，S△A2B2C2...中每后一项与前一项之比都是1/4，根据等比数列定义可知这个数列是一个公比为1/4的等比数列。
这样解释明白了没？