Question

已知数列{an}满足1/a1a2+1/a3a4+……+1/an-1an-2=n-1/a1an，求证{an}等差数列

Answer 1

设公差为d
因为：d=(a2-a1)/(2-1)=(a3-a1)/(3-1)=(a4-a1)/(4-1)=......=(an-a1)/(n-1)
则：(an-a1)=d*(n-1)
若d不等于0
因为：1/a1a2=(1/a1-1/a2)/d.....1/an-1an=(1/an-1-1/an)/d
则：1/a1a2+1/a2a3+1/a3a4+......+1/an-1an=
(1/a1-1/a2)/d+(1/a2-1/a3)/d.....+(1/an-1-1/an)/d=
(1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+1/a3-1/a4+......+1/an-1-1/an)/d=
(1/a1-1/an)/d=（an-a1)/ana1/d=d*(n-1)/ana1/d=(n-1)/ana1
左右相等，则证明成立！
若d等于0
则a1=a2=......=an
显然，原式右边=1/a1的平方乘以n-1
原式左边一共为n-1项，所以原式左边=1/a1的平方乘以n-1
左右相等，则证明成立！

Answer 2

n=3时
1/a1a2 + 1/a2a3= 2/a1a3
两边乘以 a1a2a3
得到 a3+a1=2a2 前三项满足等差数列
当n>=3时
1/a1a2+1/a2a3+……1/an-1an=(n-1)/a1an ①
1/a1a2+1/a2a3+……1/an-2an-1=(n-2)/a1an-1 ②
①-②--->(n-1)/a1an-(n-2)/a1an-1 = 1/an an-1
两边同时乘以 a1anan-1
得到： (n-1)an-1 - (n-2)an=a1 ③
同理 取n-1时
(n-2)an-2 - (n-3)an-1 =a1 ④
③-④---> (n-1)an-1 - (n-2)an = (n-2)an-2 - (n-3)an-1
(n-1+n-3)an-1 = (n-2)an +(n-2)an-2
2(n-2)an-1=(n-2)an+(n-2)an-2
n>=3
所以 2an-1 = an +an-2 符合等差数列定义
得证