Question

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？

第一第二题都会做 求第三题的详细过程

Answer 1

⑴，⑵是⑶的特款。只需证明⑶。EG=CG，而且还有EG⊥CG。

如图取坐标系， B（0,0） C（1.0）.A（0,1）  H（a,b）[BHFE是正方形 ]

则 D（1,1）  E（-b,a） F（a-b,a+b）,G（（a-b+1）/2.（a+b+1）/2）

EG＝｛（a+b+1）/2,（b-a+1）/2｝

GC＝｛（a-b-1）/2,（a+b+1）/2｝

EG²＝[（a+b+1）/2]²+[（b-a+1）/2]²＝[（a-b-1）/2]²+[（a+b+1）/2]²＝GC²

GC•EG＝[（a+b+1）/2]×[（a-b-1）/2]+[（b-a+1）/2]×[（a+b+1）/2]＝0

∴EG=CG，EG⊥CG,

Answer 2

解:(3) 作EH垂直BF 正方形的对角线相交于点 O, 连接HG,GO
因为HG-GO都是三角形BFD的中位线, 所以GO=1/2BF=BH=EH,GO//BF,HG=1/2BD=BO=OC,HG//BD
所以角GOD=角HBD=角FHG,角EHG=90° 角FHG,角GOC=90° 角GOD
所以角EHG=角GOC, 三角形EHG 全等 三角形EOC(SAS), 因此EG=GC 角GEH=角OGC
因为角GEH 角EGH 角FHG=180°-90°=90°
所以角HGO 角OGC 角EGH=角EGC=90° EG 垂直GC