Question

高二的数学 导数 急！

x>0,0<a<1求证x^a-ax<=1-a
“<='是小于或等于

Answer 1

证明;记f(x)=x^a-ax,x>0,0<a<1
f'(x)=ax^(a-1)-a
令f'(x)=0
得唯一驻点x=1
当0<x<1,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x>1,f'(x)<0,f(x)单调递减
知f(x)在x=1处取得极大值，且该极大值必为其最大值
那么f(x)<=f(1)=1-a
即x^a-ax<=1-a,(x>0,0<a<1)命题得证。