Question

设函数f（x）在区间【0,1】上有定义，f（0）=f（1），对于任意x1，x2∈【0,1】x1≠x2，均有f(x1)-f(x2)<∣

设函数f（x）在区间【0,1】上有定义，f（0）=f（1），对于任意x1，x2∈【0,1】x1≠x2，均有f(x1)-f(x2)<∣x1-x2∣，求证∣x1-x2∣<0.5

Answer 1

【【【注】】】
这个题较为常见。你的题可能错了。
题目：设函数f(x)定义域为[0,1],且f(0)=f(1).
对任意实数x1,x2∈[0,1].x1≠x2.恒有|f(x1)-f(x2)| ＜|x1-x2|.
求证：|f(x1)-f(x2)| ＜1/2.
【证明】用“反证法”。
假设存在a,b∈[0,1],且0≤a＜b≤1.满足:|f(a)-f(b)| ≥1/2.
则由题设可得：|f(a)-f(0)| ＜a,且|f(b)-f(1)| ＜1-b.
∴|f(a)-f(b)|=|[f(a)-f(b)]+[f(0)-f(1)]|=|[f(a)-f(0)]+[f(b)-f(1)]|
≤|f(a)-f(0)|+|f(b)-f(1)|
＜a+1-b.
∴1/2≤|f(a)-f(b)| ＜a+1-b. ∴1/2＜a+1-b.
∴0＜b-a＜1/2.
由题设及假设可知：|f(a)-f(b)| ＜|a-b|=b-a.且|f(a)-f(b)| ≥1/2.
∴1/2≤|f(a)-f(b)| ＜b-a＜1/2.即1/2＜1/2.矛盾。
∴原命题成立。

Answer 2

【【【注】】】
这个题较为常见。你的题可能错了。
题目：设函数f(x)定义域为[0,1],且f(0)=f(1).
对任意实数x1,x2∈[0,1].x1≠x2.恒有|f(x1)-f(x2)| ＜|x1-x2|.
求证：|f(x1)-f(x2)| ＜1/2.
【证明】用“反证法”。
假设存在a,b∈[0,1],且0≤a＜b≤1.满足:|f(a)-f(b)| ≥1/2.
则由题设可得：|f(a)-f(0)| ＜a,且|f(b)-f(1)| ＜1-b.
∴|f(a)-f(b)|=|[f(a)-f(b)]+[f(0)-f(1)]|=|[f(a)-f(0)]+[f(b)-f(1)]|
≤|f(a)-f(0)|+|f(b)-f(1)|
＜a+1-b.
∴1/2≤|f(a)-f(b)| ＜a+1-b. ∴1/2＜a+1-b.
∴0＜b-a＜1/2.
由题设及假设可知：|f(a)-f(b)| ＜|a-b|=b-a.且|f(a)-f(b)| ≥1/2.
∴1/2≤|f(a)-f(b)| ＜b-a＜1/2.即1/2＜1/2.矛盾。
∴原命题成立。

Answer 3

因为|x1|<|x2|,
x1<0,x2>0
-x2<0
且-x2<x1
因为在 x<0时为增函数，所以f(-x2)<f(x1)
又因为为偶函数，所以f(x1)=f(-x1)
所以f(-x2)<f(-x1)