Question

对角矩阵的可交换矩阵也一定是对角矩阵，这个命题如何证明啊 ？？？？

如题，谢谢啦，希望能有点过程或者提示也好~

Answer 1

这句话是不对的，正确的应该是对角矩阵的可交换矩阵也不一定是对角矩阵，证明如下：

设A为对角矩阵，对角线上的元素为ai,i=1,2,...,n

设B=(bij)n*n是和A可交换的矩阵。（这里显然B和A是同型的方阵）

AB的第i行第j列的元素为：aibij

BA的第i行第j列的元素为：bijaj

因为AB=BA

所以aibij=bijaj

又因为当i不等于j时，ai不等于aj

故bij=0

故B是个对角矩阵。

扩展资料：

对角矩阵的运算规律：

和差运算

同阶对角阵的和、差仍是对角阵。

数乘运算

数与对角阵的乘积仍为对角阵。

乘积运算

同阶对角矩阵的乘积仍为对角阵，且它们的乘积是可交换的。

Answer 2

结论不对.
En是对角矩阵, 它与任一n阶方阵可交换.
是不是要加个条件: 对角矩阵中主对角线上的元两两不同?!
请追问.

追问

恩恩！！不错啊，就是diag（a1,a2....an）各不相同，谢谢啊，怎么推呢请问？？~

追答

设 A= diag（a1,a2....an）, B = (bij) 是n*n方阵.
则 AB = (aibij), BA = (ajbij) [这个在纸上划划就看出规律了].
因为 AB = BA
所以 aibij = ajbij, i,j=1,2,...,n.
所以 (ai - aj)bij = 0, i,j=1,2,...,n.

因为当 i != j 时, ai != aj
所以 bij = 0, i != j, i,j=1,2,...,n.
所以 B 是对角矩阵.

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