Question

请帮忙分析高中数学题。

题目如下图

Answer 1

证明:分析,本题只需证明min[f(-2+1/2^(n-1)]>max{[ln(-x)f'(x)/(x+1)]+1/2},n∈N+,x∈(0,e]
当a=-1时,f(x)=-x-ln(-x),x∈[-e,0)
求导f'(x)=-1-1/x=-(x+1)/x
则ln(-x)f'(x)/(x+1)]+1/2=-[ln(-x)]/x+1/2=g(x)（记）(x<0)
求导g'(x)=[ln(-x)-1]/x²,令g'(x)=0得唯一驻点x=-e,
当x∈(-∞,-e)有g'(x)>0,知g(x)在(-∞,-e)上单调递增;
当x∈(-e,0)有g'(x)<0,知g(x)在(-e,0)上单调递减，
且在x=-e处取得极大值，该极大值必为其最大值。
则x∈[-e,0),有g(x)≤maxg(x)=g(-e)=1/e+1/2<1/2+1/2=1.......(1)

下面引入函数h(x)=ln(x+1)-x,x≥0,求导h'(x)=-x/(1+x)<0,x>0，知h(x)在x>0上单调递减
则h(x)<h(0)=0,x>0,得到ln(x+1)<x,x>0.....(*)
我们取1-1/2^(n-1)（>0）替换上式x 有ln[2-1/2^(n-1)]=ln{[1-1/2^(n-1)]+1}<1-1/2^(n-1)
得到-ln[2-1/2^(n-1)]>-[1-1/2^(n-1)]
那么f[(-2+1/2^(n-1)]=2-1/2^(n-1)-ln[2-1/2^(n-1)]>2-1/2^(n-1)-[1-1/2^(n-1)]=1......(2)

综合(1),(2)得到f[(-2+1/2^(n-1)]>1>g(x)=ln(-x)f'(x)/(x+1)]+1/2
因此对于任意n∈N+,x∈[-e,0)恒有f[(-2+1/2^(n-1)]>ln(-x)f'(x)/(x+1)]+1/2成立,命题得证。