Question

如图，在直角梯形ABCD中动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发

如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

[解] （1）如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。

∴PM＝DC＝12  

∵QB＝16－t，∴S＝（1/2）×12×(16－t)＝96－t

（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。热以B、P、Q三点

为顶点的    三角形是等腰三角形，可以分三种情况。

①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，PQ²=t²+12² ，由PQ2＝BQ2 

得 t²+12²=（16-t）² ，解得t＝7/2 

②若BP＝BQ。在Rt△PMB中，BP²=（16-2t）²+12² 。由BP2＝BQ2 得：

（16-2t）²+12²=（16-t）²  即3t²-32t+144=0。

由于Δ＝－704＜0

∴ 3t²-32t+144=0无解，∴PB≠BQ

③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得 t²+12²=（16-2t）²+12²

整理，得3t²-64t+256=0。解得t1=16/3 t2=16（不合题意，舍去)

综合上面的讨论可知：当t＝7/2 或16/3秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。

 

（3）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图2，过点Q作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE。

得 DC/BC=PE/EQ ，即 12/16=t/12。解得t＝9

所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD。