Question

已知a大于0,b大于0,求证2ab/a+b小于等于根号ab小于等于a+b/2小于等于根号下a平方加b平方/2

Answer 1

1.0
假设 2ab/(a+b)>根号下ab 则两边平方并约去ab 有 4ab/(a*a+b*b+2ab)>1, 则有a*a+b*b-2ab<0,即有a-b的完全平方小于0 显然不成立 即假设不成立 即证；
2.0
假设根号下ab>(a+b)/2, 同上面的一样 两边同时平方移项 最后可得a-b的完全平方小于0 显然不成立 即假设不成立 即证；
3.0
根号下a平方加b平方/2的完全平方等于 （a平方加b平方）/2，用它减去（a+b）/2的完全平方 最后可得 （a*a+b*b-2ab）/4 =(a-b)/2的完全平方 显然大于等于0，即 根号下a平方加b平方/2大于等于a+b/2

仔细看看吧

Answer 2

√[（a²＋b²）／2]
>=(1/2) √[2(a²＋b²)]=(1/2)√[(a^2+b^2)+(a^2+b^2)]>=(1/2)√(a^2+b^2+2ab)=(a+b)/2
>=2√[ab]/2=√[ab]
=2ab/(2√[ab])>=2ab/(a+b)