已知a+b=4 (a大于0b大于零)根号下a^2+1加根号下b^2+4的最小值?
谢谢你提的问题,这个问题很好,它引发了我的思考。以下是我对于这个问题的思考与理解,供你参考:
为了求解这个问题,我们可以使用柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz Inequality)。不等式表示如下:
(Σx_i^2)(Σy_i^2) ≥ (Σx_iy_i)^2
我们令 x_i^2 = a 和 y_i^2 = b,那么 x_1 = √a, x_2 = √b, y_1 = 1, y_2 = 4。将这些值代入柯西-施瓦茨不等式中,我们得到:
(√a + 2√b)^2 ≤ (a + 4b)(1 + 4)
然后,我们已知 a + b = 4,所以 b = 4 - a。将这个结果代入上面的不等式中,我们得到:
(√a + 2√(4 - a))^2 ≤ (a + 4(4 - a))(5)
简化得:
(√a + 2√(4 - a))^2 ≤ 20a - 60
现在,我们的目标是找到 (√a + 2√(4 - a)) 的最小值。注意到 (√a + 2√(4 - a))^2 是非负的,我们可以得到:
(√a + 2√(4 - a))^2 ≥ 0
现在,我们已经找到了一个下界和一个上界,我们可以通过比较两者来找到 (√a + 2√(4 - a)) 的最小值。当且仅当 (√a + 2√(4 - a))^2 = 20a - 60 时, (√a + 2√(4 - a)) 取到最小值。这时我们得到:
20a - 60 = (√a + 2√(4 - a))^2
通过解这个方程,我们可以得到 a = 3/2,b = 5/2。因此,当 a = 3/2 且 b = 5/2 时,根号下 a^2 + 1 加根号下 b^2 + 4 的最小值为:
√(a^2 + 1) + √(b^2 + 4) = √((3/2)^2 + 1) + √((5/2)^2 + 4) ≈ 3.414
供参考,望笑纳!
设根号下 a^2 + 1 的函数为 f(a),根号下 b^2 + 4 的函数为 g(b),则有:
f(a) = 根号下 a^2 + 1
g(b) = 根号下 b^2 + 4
要求 f(a) + g(b) 的最小值,可以使用求导的方法。具体来说,我们需要对 f(a) 和 g(b) 分别求导,并令其等于 0,得到 a 和 b 的取值,进而计算出 f(a) 和 g(b) 的最小值。
对于 f(a),有:
f'(a) = a / (根号下 a^2 + 1)
令 f'(a) = 0,解得 a = 0,这是因为根据题目中的条件,a 大于 0,因此此时 f(a) 的取值最小,即:
f(0) = 1
对于 g(b),有:
g'(b) = b / (根号下 b^2 + 4)
令 g'(b) = 0,解得 b = 0,这是因为根据题目中的条件,b 大于 0,因此此时 g(b) 的取值最小,即:
g(0) = 2
因此,f(a) + g(b) 的最小值为 1 + 2 = 3。