Question

高数微分方程y''=y^(-1/2)求通解问题(设y'=p,y''=p*dp/dy)降阶求解，帮忙解答呀

Answer 1

设y'=p,y''=p*dp/dy
原方程化为
p*dp/dy=y^(-1/2)
p*dp=y^(-1/2)*dy
两边积分，得
1/2 * p^2=2*y^(1/2)+C
p^2=4*y^(1/2)+C
(y ')^(2)=4*y^(1/2)+C
y '=[4*y^(1/2)+C]^(1/2) 或 y '= -[4*y^(1/2)+C]^(1/2)
令y^(1/2)=u，则y ' =2u*u '
于是转化为求
2u*u '=[4*u+C]^(1/2) 或 2u*u '= -[4*u+C]^(1/2)
对于2u*u '=[4*u+C]^(1/2)
得到2u*du/[4*u+C]^(1/2)=dx
4u*du/[4*u+C]^(1/2)=2dx
[(4*u+C)^(1/2)-C/(4*u+C)^(1/2)]du=2dx
两边积分，得
[ (4*u+C)^(3/2) ]/6-[ C*(4*u+C)^(1/2) ]/2 =2x+C2
将u=y^(1/2)代入即可
而对于2u*u '= -[4*u+C]^(1/2) ，只需给等号右边的2x加个负号
即[ (4*u+C)^(3/2) ]/6-[ C*(4*u+C)^(1/2) ]/2 = -2x+C2
然后将u=y^(1/2)代入

Answer 2

一楼的解答就是了。方法就是那样