Question

高中一道数学题 谢谢！

Answer 1

解：
显然我们可以知道AB、CD的斜率都存在，否则其中一条必与抛物线只有一个交点
且焦点坐标（a，0），准线x=-a
所以设AB:y=k（x-a）
因为AB、CD垂直，所以斜率互为负倒数
则CD：y=-1/k*（x-a）
与抛物线方程联立得:
关于AB：k^2*x^2-(2*a*k^2+4a)*x+a^2*k^2=0
关于CD：x^2-(4*a*k^2+2a)*x+a^2=0
由韦达定理有：xA+xB=(2*a*k^2+4a)/k^2，xC+xD=4*a*k^2+2a，
因为AF、BF、CF、DF过焦点，所以由抛物线定义有：
AF=xA+a，
BF=xB+a，
CF=xC+a，
DF=xD+a
所以
|AB|+|CD|=xA+a+xB+a+xC+a+xD+a=8a+4ak^2+4a/k^2
根据基本不等式：最小值即为16a（当且仅当k=2√a时取等号）

Answer 2

由题意 弦 AB和CD的斜率都存在
设 弦 AB的斜率为 k
则 CD的斜率为 -1/k
焦点为 （a，0） 准线方程为x=-a
AB直线方程为 y=k（x-a）
k²x²-（2ak²+4a）x+a²k²=0
所以 |AB|=x1+a+x2+a=2a+2a+4a/k²=4a+4a/k²
CD的直线方程为 y=（x-a）/k
x²-（2a+4ak²)x+a²=0
所以 |CD|=x3+a+x4+a=2a+2a+4ak²=4a+4ak²
|AB|+ |CD|=8a+4ak²+4a/k²≥8a+8a=16a
当 k=±1时 取等号
最小 16a