Question

高一数学等比数列（写出详细过程）

1记等差数列{an}的前n项和为Sn,设S3=12，且2a1,a2,a3+1成等比数列，求Sn.
2.已知数列{an}的首项a1=2/3,a(n+1）(注意a的下标为n+1)=2an/[(an)+1](注意a的下标为n),n =1,2，……
（1）证明：数列{1/(an）-1}是等比数列(a的下标为n)
（2）求数列{n/an}的前n项和Sn

Answer 1

1. S3=12， a2=4 a1=4-d a3=4+d 2a1,a2,a3+1成等比数列
16=(8-2d)(5+d) 2d^2+2d-24=0 d^2+d-12=0 d=3或d=-4
d=3 a1=1 Sn=na1+n(n-1)d/2=n+3n(n-1)/2=(3n^2-n)/2
d=-4 a1=8 Sn=na1+n(n-1)d/2=8n-2n(n-1)=-2n^2+10n

2.1/a(n+1)=(an+1)/2an
1/a(n+1)=1/2an+1/2 两边同时减去1
1/a(n+1)-1=1/2[(1/an)-1]
[1/a(n+1)-1]/[1/an-1]=1/2
数列{1/(an）-1}是等比数列
1/(an）-1=(1/a1-1)*(1/2)^(n-1) a1=2/3 1/a1-1=1/2
=(1/2)^n
1/an=(1/2)^n+1
数列{n/an}的前n项和Sn
n/an=n/(1/2)^n+n=(n/2^n)+n
Sn=【1/2+2/2^2+3/2^3+……+n/2^n】+【1+2+3+……+n】
=2-(n+2)/2^n+(1+n)*n/2